ЧИСЛЕННАЯ ВЕРИФИКАЦИЯ ТОЖДЕСТВА БИАНКИ ПО ДВУМ ПУТЯМ НА НЕТРИВИАЛЬНЫХ FLRW-ФОНАХ В ODTOE

Автор: Антон Сергеевич Панк

ЧИСЛЕННАЯ ВЕРИФИКАЦИЯ ТОЖДЕСТВА БИАНКИ ПО ДВУМ ПУТЯМ НА НЕТРИВИАЛЬНЫХ FLRW-ФОНАХ В ODTOE (Numerical Dual-Path Bianchi Verification on Nontrivial FLRW Backgrounds in ODTOE) Усиление C.T2 от вакуумного Шварцшильда до радиационной, пылевой, Λ-доминированной и смешанной ΛCDM-эры в 50-значной арифметике Панкратов Антон Сергеевич Pankratov Anton Sergeevich Независимый исследователь, г. Казань, Россия E-mail: anton.s.pankratov@gmail.com ORCID: 0009-0002-4870-2995 УДК 530.12 + 524.85 + 519.6 АННОТАЦИЯ В настоящей работе закрывается открытая задача (ii) из [11] XI и оговорка [12] VIII.3: численная верификация двух-путевого тождества Бианки ∇μ G^μν=0 (теорема C.T2 из [11]) расширяется от вакуум-тривиального фона Шварцшильда, на котором обе стороны обнуляются автоматически, до четырёх нетривиальных FLRW-сценариев с Tμν≠ 0: радиационно-доминированная эра (a∝ t^1/2, p=ρ/3), пылевая эра (a∝ t^2/3, p=0), Λ-доминированная эра (a∝ e^Ht, p=-ρ c^2) и смешанная ΛCDM-эра с энергетическими долями Planck 2018 [8] Ωr,0=9,2· 10^-5, Ωm,0=0,315, ΩΛ,0=0,6889. Для каждого фона построены два структурно независимых вычислителя: Path 1 — кинематическая цепь a(t)→Γ→ R^ρσμν→ Rμν→ G^μν→∇μ G^μν через формулы (F4), (F6), (F9) и теорему A.T3 из [9]; Path 2 — Noether-редукция через диффеоморфную инвариантность Sobs из C eq. (3.4) и (4.5) (см. [11]) совместно с леммой L8 из [10], сводящаяся к закону непрерывности ρ+3H(ρ+p/c^2)=0. Анти-циркулярный аудит зафиксирован программно: функции path1\div\G и path2\noether в скрипте flrw\path2\verification.py не разделяют вспомогательного кода поверх стандартной библиотеки mpmath, не имеют общего кэша символов Кристоффеля и не импортируют друг друга. На сетке $4$ сценария × $4$ контрольных времени t∈\10^-6,10^-3,1,10^3\ Гйр (всего 16 точек) при mp.dps =50 и пороге εconv=10^-45 относительная разность |∇μ G^μν|Path 1^(t,s)-|∇μ G^μν|_Path 2^(t,s)<10^-45 установлена для всех 16 пар. Сформулирована теорема D.T1 о численной сходимости двух путей; даны 16 численных свидетельств D.N1–D.N4 (по сценариям). Работа представляет численное усиление C.T2; структурное доказательство C.T2 из [11] IV–V не пересматривается. % [DERIVATION: closes [11] §XI item ii and [12] §VIII.3 caveat — numerical Path 2 on nontrivial FLRW] Ключевые слова: ODTOE, FLRW, тождество Бианки, двух-путевая верификация, Noether-редукция, Path 1, Path 2, лемма L8, уравнение непрерывности, ΛCDM, Planck 2018, mpmath, 50-значная точность, анти-циркулярный аудит ABSTRACT This paper closes open task (ii) of [11] XI and the caveat of [12] VIII.3: the numerical verification of the dual-path Bianchi identity ∇μ G^μν=0 (Theorem C.T2 of [11]) is extended from the vacuum-trivial Schwarzschild background, on which both sides vanish automatically, to four nontrivial FLRW scenarios with Tμν≠ 0: radiation-dominated era (a∝ t^1/2, p=ρ/3), matter-dominated era (a∝ t^2/3, p=0), Λ-dominated era (a∝ e^Ht, p=-ρ c^2), and mixed ΛCDM era with Planck 2018 [8] energy fractions Ωr,0=9.2· 10^-5, Ωm,0=0.315, ΩΛ,0=0.6889. For each background two structurally independent evaluators are built: Path 1 — kinematic chain a(t)→Γ→ R^ρσμν→ Rμν→ G^μν→∇μ G^μν via formulas (F4), (F6), (F9) and Theorem A.T3 of [9]; Path 2 — Noether reduction via diffeomorphism invariance of Sobs from C eq. (3.4) and (4.5) (see [11]) combined with lemma L8 of [10], reducing to the continuity equation ρ+3H(ρ+p/c^2)=0. The anti-circularity audit is enforced programmatically: the functions path1\div\G and path2\noether in the script flrw\path2\verification.py share no helper code above the mpmath stdlib, share no Christoffel-symbol cache, and do not import each other. On a grid of $4$ scenarios × $4$ test times t∈\10^-6,10^-3,1,10^3\ Gyr (16 points total), at mp.dps =50 and tolerance εconv=10^-45, the relative difference |∇μ G^μν|Path 1^(t,s)-|∇μ G^μν|_Path 2^(t,s)<10^-45 is established for all 16 pairs. Theorem D.T1 on numerical convergence of the two paths is formulated; 16 numerical attestations D.N1–D.N4 (one per scenario) are given. The paper is a numerical strengthening of C.T2; the structural proof of C.T2 from [11] IV–V is not revisited. Keywords: ODTOE, FLRW, Bianchi identity, dual-path verification, Noether reduction, Path 1, Path 2, lemma L8, continuity equation, ΛCDM, Planck 2018, mpmath, 50-digit precision, anti-circularity audit I. ВВЕДЕНИЕ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ % [FACT: standard GR formulation of Bianchi identity; see Wald [6] §3.2] В общей теории относительности тождество Бианки ∇μ G^μν=0 есть кинематическое следствие гладкости псевдоримановой метрики и второго тождества Бианки на тензоре Римана [1]. В ODTOE-формулировке [9,10,11] то же равенство устанавливается двумя независимыми путями: Path 1 — свёртка второго тождества Бианки на гладкой метрике (теорема A.T3 из [9]), Path 2 — Noether-следствие [2] диффеоморфной инвариантности действия наблюдателя Sobs=∫ B^2(1-σ)Λ√-g d^4x из [10]. В работе [11] (ниже именуемой Article C) теорема C.T2 формализует это двух-путевое тождество и сопровождается численной верификацией в 50-значной арифметике mpmath на основном состоянии Шварцшильда. Однако вакуумный Шварцшильд — патологически тривиальный тестовый фон: T_μν=0 заставляет обе стороны обнуляться аналитически, и численное согласие двух путей в этом случае не различает корректно реализованной деривации от тождественного нуля. Открытая задача. Сама работа [11] XI item (ii) явно отмечает: «аналитическая проверка Path 2 на нетривиальном FLRW-состоянии с Tμν∗≠ 0»} — открытая задача отдельной публикации. Аналогично работа [12] (XL-синтез) в VIII.3 фиксирует ту же оговорку: «численная верификация Path 2 на нетривиальном FLRW background с Tμν∗≠ 0 оставлена открытой задачей»}. Настоящая статья закрывает обе оговорки одновременно. % [DERIVATION: precise citation of the open task — [11] §XI item ii and [12] §VIII.3] Эпистемический статус. Настоящая работа строго ограничена численным усилением C.T2. Структурная теорема C.T2 из [11] IV–V не пересматривается, не уточняется, не амендируется; её формулировка как Diff(M^4)-Noether-тождество остаётся в неизменном виде. Заявлен лишь результат: на четырёх нетривиальных FLRW-сценариях с явно отличными от нуля Tμν два структурно независимых численных вычислителя (Path 1 кинематический и Path 2 Noether-редукция) согласуются в 50-значной арифметике mpmath в пределах относительной ошибки εconv=10^-45. Анти-циркулярный аудит обеспечен на уровне исходного кода: две функции в скрипте flrw\path2\verification.py не разделяют вспомогательного кода, не импортируют друг друга и не используют общий кэш промежуточных тензоров. % [DERIVATION: anti-circularity is the ONE substantive risk — addressed by code-level independence] I.1. Что закрывает настоящая статья % [DERIVATION: list of closure items — these correspond to [11] §XI item ii and [12] §VIII.3] Из перечня открытых задач: - Численное усиление C.T2 на нетривиальный FLRW. В VI, VII, VIII, IX четыре нетривиальных FLRW-сценария проверены на согласованность Path 1 и Path 2; в X сформулирована теорема D.T1 о численной сходимости двух путей с явной численной аттестацией на 16 точках сетки. - Закрытие оговорки [11] XI item (ii): *«аналитическая проверка Path 2 на нетривиальном FLRW-состоянии с T_μν∗≠ 0»} — реализована численно с тем же порогом $10^{-45}, что в [11]\S$V.4. - Закрытие оговорки [12] VIII.3: *«численная верификация Path 2 на нетривиальном FLRW background с T_μν∗≠ 0»} — реализована. - Программный анти-циркулярный аудит. В скрипте flrw\path2\verification.py зафиксировано: path1\div\G (кинематика) и path2\_noether (Noether-редукция) не имеют общего кода, общего кэша или взаимных импортов. Что НЕ закрывает настоящая статья. (а) Структурное доказательство C.T2 из [11] не пересматривается; D.T1 — численное аттестование, не амендирование C.T2. (б) Каведы [11] XI item (i), (iii), (iv) (топология B→ 0, гладкость вблизи горизонтов, горизонтная термодинамика) остаются открытыми; их закрытие — задачи отдельных публикаций. % [HYPOTHESIS: D is numerical strengthening, not structural amendment — honest scope per L-23] I.2. Структура изложения II фиксирует входные контракты из [9], [10], [11] в форме шести зафиксированных результатов. III описывает FLRW-фоны (метрика, материя, четыре сценария) [3,4,7,8]. IV строит Path 1 как кинематический вычислитель ∇μ G^μν на gFLRW. V строит Path 2 как Noether-редукцию через C eq. (3.4)+(4.5)+L8. VI–IX содержат численные результаты по четырём сценариям; в IX.5 приведён verbatim-вывод программы flrw\path2\verification.py. X формулирует и обосновывает теорему D.T1 и связь с программой A+B+C+XL. Затем следуют разделы благодарностей, конфликта интересов, финансирования (per L-33) и список литературы. II. ВХОДНЫЕ КОНТРАКТЫ ИЗ A, B, C (ЗАМОРОЖЕНЫ) II.1. Контракты из Article A — тензорная структура [9] % [FACT: A's tensor layer fixed in [9]; cited verbatim, not re-derived] Article A [9] зафиксировал тензорный слой ODTOE-гравитации. Настоящая работа использует следующие результаты без перевывода: - Метрический тензор gμν(C;O)=⟨∂μΦ,∂νΦ⟩O,C как observer-correlator (см. [9] формула (F1) того же источника). Для FLRW конкретизируется в III. - Символы Кристоффеля Леви-Чивиты по стандартной формуле (см. [9] формула (F4) того же источника): Γ^ρμν=12g^ρσ(∂μ gνσ+∂ν gμσ-∂σ g_μν). D.A.F4 - Тензор Римана через коммутатор ковариантных производных и стандартную координатную формулу (см. [9] формулы (F5), (F6) того же источника): R^ρσμν=∂μΓ^ρνσ-∂νΓ^ρμσ+Γ^ρμλΓ^λνσ-Γ^ρνλΓ^λ_μσ. D.A.F6 - Тензор Эйнштейна Gμν=Rμν-12g_μνR (см. [9] формула (F9) того же источника). - Кинематическое тождество Бианки ∇_μ G^μν=0 как чисто геометрическое следствие гладкости метрики (теорема A.T3 из [9]); это Path 1 настоящей работы. II.2. Контракты из Article B — тензорный источник [10] % [FACT: B's tensor source layer fixed in [10]; L8 cited verbatim] Article B [10] зафиксировал тензорный источник: - Действие наблюдателя Sobs[g, B, σ, Λ] = ∫M^4 B^2(1-σ)Λ√-g d^4x (см. [10] формула (F4) того же источника). - Тензор энергии-импульса Tμν=(2/√-g) δ(√-g Lobs)/δ g^μν с явной формой Tμν=2B^2(1-σ)Λ (PO,SYNC)μν-gμνB^2(1-σ)Λ (см. [10] формулы (F15)–(F16) того же источника). - Лемма L8 (закон сохранения). ∇_μ T^μν=0 — следствие идемпотентности SYNC-проектора и зафиксированной в [9] IV.1 ковариантной производной (см. [10] VII; [10] формула (F19) того же источника). Это центральная входная связь для Path 2 настоящей работы: на FLRW-фоне L8 редуцируется к стандартному уравнению непрерывности (см. V.2 ниже) [3,4,7]. II.3. Контракты из Article C — двух-путевой Бианки и его узкое место [11] % [FACT: C's dual-path Bianchi setup fixed in [11]; the gap closed by D] Article C [11] зафиксировал двух-путевую конструкцию через теорему Лавлока [5] о единственности тензора Эйнштейна: - C eq. (3.4): ∇μ T^μν=0 как Noether-следствие [2] Diff(M^4)-инвариантности Sobs — независимая редеривация L8 из [10] VII (см. [11] формула (3.4) того же источника). - C eq. (4.5): ∇μ G^μν=0 — Path 2 геометрическая часть, выводится через Diff-вариацию гильбертова действия Sgrav и метрическую совместимость (см. [11] формула (4.5) того же источника). - Объединённое Noether-тождество (C.F6): ∇_μ[G^μν+Λ g^μν-(8π G/c^4)T^μν]=0. - Теорема C.T2 (численная согласованность двух путей): на основном состоянии Шварцшильда в 50-значной арифметике |∇μ G^μν|Path 1-|∇μ G^μν|Path 2<10^-45 (см. [11] формула (C.F9), V.4–V.5). - Узкое место [11] XI item (ii): «аналитическая проверка Path 2 на нетривиальном FLRW-состоянии с T_μν≠ 0» — закрывается настоящей работой. III. FLRW-ФОН: МЕТРИКА, МАТЕРИЯ, СЦЕНАРИИ III.1. Плоская FLRW-метрика % [FACT: standard flat FLRW metric — Friedmann [3], Lemaître [4], Weinberg [7] §15.1, Wald [6] §5.2] Рассматривается пространственно-однородная изотропная плоская (k=0) метрика Фридмана – Леметра – Робертсона – Уокера [3,4]: ds^2_FLRW = -c^2 dt^2 + a(t)^2[dr^2 + r^2 dΩ^2] D.F1 где a(t) — масштабный фактор, dΩ^2=dθ^2+^2θ dφ^2. В сопутствующих координатах (t, r, θ, φ) ненулевые компоненты g_μν: gtt=-c^2, grr=a^2, gθθ=a^2 r^2, gφφ=a^2 r^2^2θ. 3.1 √-g=a^3 c r^2θ. Гладкость a(t)∈ C^2(R_>0) обеспечивает применимость Path 1 (теорема A.T3) и Path 2 (Noether-редукция). Стандартное изложение FLRW-формализма см. также в Weinberg [7] 15.1. III.2. Тензор энергии-импульса идеальной жидкости % [FACT: standard perfect fluid stress-energy on FLRW; cf. Weinberg [7] §15.1] В сопутствующих координатах с 4-скоростью u^μ=(1/c, 0, 0, 0) тензор энергии-импульса идеальной жидкости имеет диагональную форму [7]: T^μ_ν = diag(-ρ c^2, p, p, p), T^μν=(ρ+p/c^2)u^μ u^ν+p g^μν. D.F2 Уравнение состояния каждого компонента задаётся параметром w=p/(ρ c^2). III.3. Четыре сценария % [DERIVATION: four FLRW scenarios with explicit a(t) and (rho, p)] В настоящей работе тестируются четыре нетривиальных сценария: - Радиационно-доминированная эра (w=1/3): a(t)∝ t^1/2, ρr(t)=ρr,0 a^-4. Реалистичный фон ранней Вселенной до рекомбинации. - Пылевая (матриксная) эра (w=0): a(t)∝ t^2/3, ρm(t)=ρm,0 a^-3. Реалистичный фон Вселенной от рекомбинации до начала эры Λ-доминирования. - Λ-доминированная (де Ситтер) эра (w=-1): a(t)∝ e^HdSt, HdS=√Λ/3∼ H0√ΩΛ, ρ_Λ= const. Реалистичный фон поздней Вселенной. - Смешанная ΛCDM-эра (Friedmann mix): полный учёт всех трёх компонентов с энергетическими долями Planck 2018 [8] Ωr,0=9,2· 10^-5, Ωm,0=0,315, Ω_Λ,0=0,6889. Уравнение Фридмана [3]: H^2 = 8π G3(ρr+ρm+ρΛ) = H0^2(Ωr,0 a^-4+Ωm,0 a^-3+Ω_Λ,0). D.F5 III.4. Уравнение непрерывности на компонент % [DERIVATION: per-component continuity from B's L8 reduction on FLRW] Закон сохранения L8 из [10] VII для идеальной жидкости на FLRW даёт стандартное уравнение непрерывности [7]: ρ + 3H(ρ + p/c^2) = 0, H= a/a. D.F6 Для каждого сценария (D.F6) автоматически удовлетворено решениями III.3 при выборе w. Уравнение (D.F6) — главный численный инструмент Path 2 настоящей работы (см. V). IV. PATH 1: КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ∇_μ G^μν} IV.1. Общая стратегия % [DERIVATION: Path 1 chain via [9] (F4)-(F6)-(F9) and Theorem A.T3] Для каждого FLRW-сценария Path 1 выполняет полную кинематическую цепь: a(t) Γ^ρμν R^ρσμν Rμν G^μν ∇μ G^μν, D.F3 без обращения к Tμν и без обращения к Noether-аппарату Path 2. Все символы Кристоффеля и компоненты тензора Римана вычисляются из gFLRW напрямую через формулы (D.A.F4) и (D.A.F6). Численная стратегия следует общим методам современной численной теории относительности [13]. IV.2. Ненулевые символы Кристоффеля FLRW % [DERIVATION: standard FLRW Christoffels; cf. Weinberg [7] §15.1, Wald [6] §5.2] Для (3.1) при k=0 ненулевые символы (с i,j — пространственные индексы): Γ^tii = a ac^2gii^(0), Γ^iti = Γ^iit = H, Γ^i_jk -стандартные сферические, 4.1 где gii^(0) — пространственная подметрика без множителя a^2. Подстановка (4.1) в (D.A.F6) даёт ненулевые компоненты R^ρσμν, свёртка которых по правилу Rμν=R^ρμρν даёт стандартный результат [6,7]: Rtt = -3 aa, Rii = (a a + 2 a^2) g_ii^(0)/c^2. 4.2 IV.3. Тензор Эйнштейна и его дивергенция % [DERIVATION: standard Einstein tensor on FLRW; G^tt and G^ii diagonal] Скаляр Риччи R = g

ЧИСЛЕННАЯ ВЕРИФИКАЦИЯ ТОЖДЕСТВА БИАНКИ ПО ДВУМ ПУТЯМ НА НЕТРИВИАЛЬНЫХ FLRW-ФОНАХ В ODTOE

NoteАнтон Сергеевич Панк26.04.2026, 14:36:05
Открыть в эксплорере

SeqNo

3140253-1

Тип

Note

Комиссия

0.055403

Размер

55403 B

Создатель

7KTKEaKVtogM4v661K7WEV46nvTYEnUg37

Подпись

5GL7gcdhaYSiDR3QfgjjvreV8scwa9VxcMBAjDYQcsKV2z2cvPaTeCbThaLtDt5Xg8fXjBPjyRXsKSM4zxjCErkr

Содержание

ЧИСЛЕННАЯ ВЕРИФИКАЦИЯ ТОЖДЕСТВА БИАНКИ ПО ДВУМ ПУТЯМ НА НЕТРИВИАЛЬНЫХ FLRW-ФОНАХ В ODTOE

Антон Сергеевич Панк

ЧИСЛЕННАЯ ВЕРИФИКАЦИЯ ТОЖДЕСТВА БИАНКИ ПО ДВУМ ПУТЯМ НА НЕТРИВИАЛЬНЫХ FLRW-ФОНАХ В ODTOE

(Numerical Dual-Path Bianchi Verification on Nontrivial FLRW Backgrounds in ODTOE)
Усиление C.T2 от вакуумного Шварцшильда до радиационной, пылевой, Λ\Lambda-доминированной и смешанной Λ\LambdaCDM-эры в 50-значной арифметике
Панкратов Антон Сергеевич
Pankratov Anton Sergeevich
Независимый исследователь, г. Казань, Россия
E-mail: anton.s.pankratov@gmail.com
ORCID: 0009-0002-4870-2995

УДК 530.12 + 524.85 + 519.6

АННОТАЦИЯ

В настоящей работе закрывается открытая задача (ii) из [11] §\SXI и оговорка [12] §\SVIII.3: численная верификация двух-путевого тождества Бианки ∇μGμν=0\nabla_\mu G^{\mu\nu}=0 (теорема C.T2 из [11]) расширяется от вакуум-тривиального фона Шварцшильда, на котором обе стороны обнуляются автоматически, до четырёх нетривиальных FLRW-сценариев с Tμν≠0T_{\mu\nu}\ne 0: радиационно-доминированная эра (a∝t1/2a\propto t^{1/2}, p=ρ/3p=\rho/3), пылевая эра (a∝t2/3a\propto t^{2/3}, p=0p=0), Λ\Lambda-доминированная эра (a∝eHta\propto e^{Ht}, p=−ρc2p=-\rho c^2) и смешанная Λ\LambdaCDM-эра с энергетическими долями Planck 2018 [8] Ωr,0=9,2⋅10−5\Omega_{r,0}=9{,}2\cdot 10^{-5}, Ωm,0=0,315\Omega_{m,0}=0{,}315, ΩΛ,0=0,6889\Omega_{\Lambda,0}=0{,}6889. Для каждого фона построены два структурно независимых вычислителя: Path 1 — кинематическая цепь a(t)→Γ→Rρσμν→Rμν→Gμν→∇μGμνa(t)\to\Gamma\to R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}\to R_{\mu\nu}\to G^{\mu\nu}\to\nabla_\mu G^{\mu\nu} через формулы (F4), (F6), (F9) и теорему A.T3 из [9]; Path 2 — Noether-редукция через диффеоморфную инвариантность SobsS_{\mathrm{obs}} из C eq. (3.4) и (4.5) (см. [11]) совместно с леммой L8 из [10], сводящаяся к закону непрерывности ρ˙+3H(ρ+p/c2)=0\dot\rho+3H(\rho+p/c^2)=0. Анти-циркулярный аудит зафиксирован программно: функции path1\_div\_G и path2\_noether в скрипте flrw\_path2\_verification.py не разделяют вспомогательного кода поверх стандартной библиотеки mpmath, не имеют общего кэша символов Кристоффеля и не импортируют друг друга. На сетке 44 сценария ×\times 44 контрольных времени t∈{10−6,10−3,1,103}t\in\{10^{-6},10^{-3},1,10^3\} Гйр (всего 16 точек) при mp.dps =50=50 и пороге εconv=10−45\varepsilon_{\mathrm{conv}}=10^{-45} относительная разность ∣∇μGμν∣Path1(t,s)−∣∇μGμν∣Path2(t,s)<10−45|\nabla_\mu G^{\mu\nu}|_{\mathrm{Path 1}}^{(t,s)}-|\nabla_\mu G^{\mu\nu}|_{\mathrm{Path 2}}^{(t,s)}\lt 10^{-45} установлена для всех 16 пар. Сформулирована теорема D.T1 о численной сходимости двух путей; даны 16 численных свидетельств D.N1–D.N4 (по сценариям). Работа представляет численное усиление C.T2; структурное доказательство C.T2 из [11] §\SIV–V не пересматривается.
% [DERIVATION: closes [11] §XI item ii and [12] §VIII.3 caveat — numerical Path 2 on nontrivial FLRW]

Ключевые слова: ODTOE, FLRW, тождество Бианки, двух-путевая верификация, Noether-редукция, Path 1, Path 2, лемма L8, уравнение непрерывности, Λ\LambdaCDM, Planck 2018, mpmath, 50-значная точность, анти-циркулярный аудит

ABSTRACT

This paper closes open task (ii) of [11] §\SXI and the caveat of [12] §\SVIII.3: the numerical verification of the dual-path Bianchi identity ∇μGμν=0\nabla_\mu G^{\mu\nu}=0 (Theorem C.T2 of [11]) is extended from the vacuum-trivial Schwarzschild background, on which both sides vanish automatically, to four nontrivial FLRW scenarios with Tμν≠0T_{\mu\nu}\ne 0: radiation-dominated era (a∝t1/2a\propto t^{1/2}, p=ρ/3p=\rho/3), matter-dominated era (a∝t2/3a\propto t^{2/3}, p=0p=0), Λ\Lambda-dominated era (a∝eHta\propto e^{Ht}, p=−ρc2p=-\rho c^2), and mixed Λ\LambdaCDM era with Planck 2018 [8] energy fractions Ωr,0=9.2⋅10−5\Omega_{r,0}=9.2\cdot 10^{-5}, Ωm,0=0.315\Omega_{m,0}=0.315, ΩΛ,0=0.6889\Omega_{\Lambda,0}=0.6889. For each background two structurally independent evaluators are built: Path 1 — kinematic chain a(t)→Γ→Rρσμν→Rμν→Gμν→∇μGμνa(t)\to\Gamma\to R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}\to R_{\mu\nu}\to G^{\mu\nu}\to\nabla_\mu G^{\mu\nu} via formulas (F4), (F6), (F9) and Theorem A.T3 of [9]; Path 2 — Noether reduction via diffeomorphism invariance of SobsS_{\mathrm{obs}} from C eq. (3.4) and (4.5) (see [11]) combined with lemma L8 of [10], reducing to the continuity equation ρ˙+3H(ρ+p/c2)=0\dot\rho+3H(\rho+p/c^2)=0. The anti-circularity audit is enforced programmatically: the functions path1\_div\_G and path2\_noether in the script flrw\_path2\_verification.py share no helper code above the mpmath stdlib, share no Christoffel-symbol cache, and do not import each other. On a grid of 44 scenarios ×\times 44 test times t∈{10−6,10−3,1,103}t\in\{10^{-6},10^{-3},1,10^3\} Gyr (16 points total), at mp.dps =50=50 and tolerance εconv=10−45\varepsilon_{\mathrm{conv}}=10^{-45}, the relative difference ∣∇μGμν∣Path1(t,s)−∣∇μGμν∣Path2(t,s)<10−45|\nabla_\mu G^{\mu\nu}|_{\mathrm{Path 1}}^{(t,s)}-|\nabla_\mu G^{\mu\nu}|_{\mathrm{Path 2}}^{(t,s)}\lt 10^{-45} is established for all 16 pairs. Theorem D.T1 on numerical convergence of the two paths is formulated; 16 numerical attestations D.N1–D.N4 (one per scenario) are given. The paper is a numerical strengthening of C.T2; the structural proof of C.T2 from [11] §\SIV–V is not revisited.

Keywords: ODTOE, FLRW, Bianchi identity, dual-path verification, Noether reduction, Path 1, Path 2, lemma L8, continuity equation, Λ\LambdaCDM, Planck 2018, mpmath, 50-digit precision, anti-circularity audit

I. ВВЕДЕНИЕ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

% [FACT: standard GR formulation of Bianchi identity; see Wald [6] §3.2]
В общей теории относительности тождество Бианки ∇μGμν=0\nabla_\mu G^{\mu\nu}=0 есть кинематическое следствие гладкости псевдоримановой метрики и второго тождества Бианки на тензоре Римана [1]. В ODTOE-формулировке [9,10,11] то же равенство устанавливается двумя независимыми путями: Path 1 — свёртка второго тождества Бианки на гладкой метрике (теорема A.T3 из [9]), Path 2 — Noether-следствие [2] диффеоморфной инвариантности действия наблюдателя Sobs=∫B2(1−σ)Λ−gd4xS_{\mathrm{obs}}=\int B^2(1-\sigma)\Lambda\sqrt{-g} d^4x из [10]. В работе [11] (ниже именуемой Article C) теорема C.T2 формализует это двух-путевое тождество и сопровождается численной верификацией в 50-значной арифметике mpmath на основном состоянии Шварцшильда. Однако вакуумный Шварцшильд — патологически тривиальный тестовый фон: Tμν=0T_{\mu\nu}=0 заставляет обе стороны обнуляться аналитически, и численное согласие двух путей в этом случае не различает корректно реализованной деривации от тождественного нуля.

Открытая задача. Сама работа [11] §\SXI item (ii) явно отмечает: *«аналитическая проверка Path 2 на нетривиальном FLRW-состоянии с Tμν∗≠0T_{\mu\nu*\ne 0}»} — открытая задача отдельной публикации. Аналогично работа [12] (XL-синтез) в §\SVIII.3 фиксирует ту же оговорку: *«численная верификация Path 2 на нетривиальном FLRW background с Tμν∗≠0T_{\mu\nu*\ne 0} оставлена открытой задачей»}. Настоящая статья закрывает обе оговорки одновременно.
% [DERIVATION: precise citation of the open task — [11] §XI item ii and [12] §VIII.3]

Эпистемический статус. Настоящая работа строго ограничена численным усилением C.T2. Структурная теорема C.T2 из [11] §\SIV–V не пересматривается, не уточняется, не амендируется; её формулировка как Diff(M4M^4)-Noether-тождество остаётся в неизменном виде. Заявлен лишь результат: на четырёх нетривиальных FLRW-сценариях с явно отличными от нуля TμνT_{\mu\nu} два структурно независимых численных вычислителя (Path 1 кинематический и Path 2 Noether-редукция) согласуются в 50-значной арифметике mpmath в пределах относительной ошибки εconv=10−45\varepsilon_{\mathrm{conv}}=10^{-45}. Анти-циркулярный аудит обеспечен на уровне исходного кода: две функции в скрипте flrw\_path2\_verification.py не разделяют вспомогательного кода, не импортируют друг друга и не используют общий кэш промежуточных тензоров.
% [DERIVATION: anti-circularity is the ONE substantive risk — addressed by code-level independence]

I.1. Что закрывает настоящая статья

% [DERIVATION: list of closure items — these correspond to [11] §XI item ii and [12] §VIII.3]
Из перечня открытых задач:

  • Численное усиление C.T2 на нетривиальный FLRW. В §\SVI, §\SVII, §\SVIII, §\SIX четыре нетривиальных FLRW-сценария проверены на согласованность Path 1 и Path 2; в §\SX сформулирована теорема D.T1 о численной сходимости двух путей с явной численной аттестацией на 16 точках сетки.
  • Закрытие оговорки [11] §\SXI item (ii): *«аналитическая проверка Path 2 на нетривиальном FLRW-состоянии с Tμν∗≠0T_{\mu\nu*\ne 0}»} — реализована численно с тем же порогом 10−4510^{-45}, что в [11] §\SV.4.
  • Закрытие оговорки [12] §\SVIII.3: *«численная верификация Path 2 на нетривиальном FLRW background с Tμν∗≠0T_{\mu\nu*\ne 0}»} — реализована.
  • Программный анти-циркулярный аудит. В скрипте flrw\_path2\_verification.py зафиксировано: path1\_div\_G (кинематика) и path2\_noether (Noether-редукция) не имеют общего кода, общего кэша или взаимных импортов.

Что НЕ закрывает настоящая статья. (а) Структурное доказательство C.T2 из [11] не пересматривается; D.T1 — численное аттестование, не амендирование C.T2. (б) Каведы [11] §\SXI item (i), (iii), (iv) (топология B→0B\to 0, гладкость вблизи горизонтов, горизонтная термодинамика) остаются открытыми; их закрытие — задачи отдельных публикаций.
% [HYPOTHESIS: D is numerical strengthening, not structural amendment — honest scope per L-23]

I.2. Структура изложения

§\SII фиксирует входные контракты из [9], [10], [11] в форме шести зафиксированных результатов. §\SIII описывает FLRW-фоны (метрика, материя, четыре сценария) [3,4,7,8]. §\SIV строит Path 1 как кинематический вычислитель ∇μGμν\nabla_\mu G^{\mu\nu} на gFLRWg_{\mathrm{FLRW}}. §\SV строит Path 2 как Noether-редукцию через C eq. (3.4)+(4.5)+L8. §\SVI–§\SIX содержат численные результаты по четырём сценариям; в §\SIX.5 приведён verbatim-вывод программы flrw\_path2\_verification.py. §\SX формулирует и обосновывает теорему D.T1 и связь с программой A+B+C+XL. Затем следуют разделы благодарностей, конфликта интересов, финансирования (per L-33) и список литературы.

II. ВХОДНЫЕ КОНТРАКТЫ ИЗ A, B, C (ЗАМОРОЖЕНЫ)

II.1. Контракты из Article A — тензорная структура [9]

% [FACT: A's tensor layer fixed in [9]; cited verbatim, not re-derived]
Article A [9] зафиксировал тензорный слой ODTOE-гравитации. Настоящая работа использует следующие результаты без перевывода:

  • Метрический тензор gμν(C;O)=⟨∂μΦ,∂νΦ⟩O,Cg_{\mu\nu}(C;O)=\langle\partial_\mu\Phi,\partial_\nu\Phi\rangle_{O,C} как observer-correlator (см. [9] формула (F1) того же источника). Для FLRW конкретизируется в §\SIII.
  • Символы Кристоффеля Леви-Чивиты по стандартной формуле (см. [9] формула (F4) того же источника):
Γρμν=12gρσ(∂μgνσ+∂νgμσ−∂σgμν).(D.A.F4)\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}=\tfrac{1}{2}g^{\rho\sigma}\left(\partial_\mu g_{\nu\sigma}+\partial_\nu g_{\mu\sigma}-\partial_\sigma g_{\mu\nu}\right). \tag{D.A.F4}
  • Тензор Римана через коммутатор ковариантных производных и стандартную координатную формулу (см. [9] формулы (F5), (F6) того же источника):
Rρσμν=∂μΓρνσ−∂νΓρμσ+ΓρμλΓλνσ−ΓρνλΓλμσ.(D.A.F6)R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}=\partial_\mu\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}-\partial_\nu\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}+\Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\nu\sigma}-\Gamma^\rho{}_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\mu\sigma}. \tag{D.A.F6}
  • Тензор Эйнштейна Gμν=Rμν−12gμνRG_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\tfrac{1}{2}g_{\mu\nu}R (см. [9] формула (F9) того же источника).
  • Кинематическое тождество Бианки ∇μGμν=0\nabla_\mu G^{\mu\nu}=0 как чисто геометрическое следствие гладкости метрики (теорема A.T3 из [9]); это Path 1 настоящей работы.

II.2. Контракты из Article B — тензорный источник [10]

% [FACT: B's tensor source layer fixed in [10]; L8 cited verbatim]
Article B [10] зафиксировал тензорный источник:

  • Действие наблюдателя Sobs[g,B,σ,Λ]=∫M4B2(1−σ)Λ−gd4xS_{\mathrm{obs}}[g, B, \sigma, \Lambda] = \int_{\mathcal{M}^4} B^2(1-\sigma)\Lambda\sqrt{-g} d^4x (см. [10] формула (F4) того же источника).
  • Тензор энергии-импульса Tμν=(2/−g)δ(−gLobs)/δgμνT_{\mu\nu}=(2/\sqrt{-g}) \delta(\sqrt{-g} \mathcal{L}_{\mathrm{obs}})/\delta g^{\mu\nu} с явной формой Tμν=2B2(1−σ)Λ(PO,SYNC)μν−gμνB2(1−σ)ΛT_{\mu\nu}=2B^2(1-\sigma)\Lambda (P_{O,\mathrm{SYNC}})_{\mu\nu}-g_{\mu\nu}B^2(1-\sigma)\Lambda (см. [10] формулы (F15)–(F16) того же источника).
  • Лемма L8 (закон сохранения). ∇μTμν=0\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0 — следствие идемпотентности SYNC-проектора и зафиксированной в [9] §\SIV.1 ковариантной производной (см. [10] §\SVII; [10] формула (F19) того же источника). Это центральная входная связь для Path 2 настоящей работы: на FLRW-фоне L8 редуцируется к стандартному уравнению непрерывности (см. §\SV.2 ниже) [3,4,7].

II.3. Контракты из Article C — двух-путевой Бианки и его узкое место [11]

% [FACT: C's dual-path Bianchi setup fixed in [11]; the gap closed by D]
Article C [11] зафиксировал двух-путевую конструкцию через теорему Лавлока [5] о единственности тензора Эйнштейна:

  • C eq. (3.4): ∇μTμν=0\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0 как Noether-следствие [2] Diff(M4M^4)-инвариантности SobsS_{\mathrm{obs}} — независимая редеривация L8 из [10] §\SVII (см. [11] формула (3.4) того же источника).
  • C eq. (4.5): ∇μGμν=0\nabla_\mu G^{\mu\nu}=0 — Path 2 геометрическая часть, выводится через Diff-вариацию гильбертова действия SgravS_{\mathrm{grav}} и метрическую совместимость (см. [11] формула (4.5) того же источника).
  • Объединённое Noether-тождество (C.F6): ∇μ[Gμν+Λgμν−(8πG/c4)Tμν]=0\nabla_\mu[G^{\mu\nu}+\Lambda g^{\mu\nu}-(8\pi G/c^4)T^{\mu\nu}]=0.
  • Теорема C.T2 (численная согласованность двух путей): на основном состоянии Шварцшильда в 50-значной арифметике ∣∇μGμν∣Path1−∣∇μGμν∣Path2<10−45|\nabla_\mu G^{\mu\nu}|_{\mathrm{Path 1}}-|\nabla_\mu G^{\mu\nu}|_{\mathrm{Path 2}}\lt 10^{-45} (см. [11] формула (C.F9), §\SV.4–V.5).
  • Узкое место [11] §\SXI item (ii): «аналитическая проверка Path 2 на нетривиальном FLRW-состоянии с Tμν≠0T_{\mu\nu}\ne 0» — закрывается настоящей работой.

III. FLRW-ФОН: МЕТРИКА, МАТЕРИЯ, СЦЕНАРИИ

III.1. Плоская FLRW-метрика

% [FACT: standard flat FLRW metric — Friedmann [3], Lemaître [4], Weinberg [7] §15.1, Wald [6] §5.2]
Рассматривается пространственно-однородная изотропная плоская (k=0k=0) метрика Фридмана – Леметра – Робертсона – Уокера [3,4]:

dsFLRW2=−c2dt2+a(t)2[dr2+r2dΩ2](D.F1)ds^2_{\mathrm{FLRW}} = -c^2 dt^2 + a(t)^2\left[dr^2 + r^2 d\Omega^2\right] \tag{D.F1}

где a(t)a(t) — масштабный фактор, dΩ2=dθ2+sin⁡2θdϕ2d\Omega^2=d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2. В сопутствующих координатах (tt, rr, θ\theta, ϕ\phi) ненулевые компоненты gμνg_{\mu\nu}:

gtt=−c2,grr=a2,gθθ=a2r2,gϕϕ=a2r2sin⁡2θ.(3.1)g_{tt}=-c^2, g_{rr}=a^2, g_{\theta\theta}=a^2 r^2, g_{\phi\phi}=a^2 r^2\sin^2\theta. \tag{3.1}

−g=a3cr2sin⁡θ\sqrt{-g}=a^3 c r^2\sin\theta. Гладкость a(t)∈C2(R>0)a(t)\in C^2(\mathbb{R}_{\gt 0}) обеспечивает применимость Path 1 (теорема A.T3) и Path 2 (Noether-редукция). Стандартное изложение FLRW-формализма см. также в Weinberg [7] §\S15.1.

III.2. Тензор энергии-импульса идеальной жидкости

% [FACT: standard perfect fluid stress-energy on FLRW; cf. Weinberg [7] §15.1]
В сопутствующих координатах с 4-скоростью uμ=(1/c,0,0,0)u^\mu=(1/c, 0, 0, 0) тензор энергии-импульса идеальной жидкости имеет диагональную форму [7]:

Tμν=diag(−ρc2,p,p,p),Tμν=(ρ+p/c2)uμuν+pgμν.(D.F2)T^\mu{}_\nu = \mathrm{diag}(-\rho c^2, p, p, p), T^{\mu\nu}=(\rho+p/c^2)u^\mu u^\nu+p g^{\mu\nu}. \tag{D.F2}

Уравнение состояния каждого компонента задаётся параметром w=p/(ρc2)w=p/(\rho c^2).

III.3. Четыре сценария

% [DERIVATION: four FLRW scenarios with explicit a(t) and (rho, p)]
В настоящей работе тестируются четыре нетривиальных сценария:

  • Радиационно-доминированная эра (w=1/3w=1/3): a(t)∝t1/2a(t)\propto t^{1/2}, ρr(t)=ρr,0a−4\rho_r(t)=\rho_{r,0} a^{-4}. Реалистичный фон ранней Вселенной до рекомбинации.
  • Пылевая (матриксная) эра (w=0w=0): a(t)∝t2/3a(t)\propto t^{2/3}, ρm(t)=ρm,0a−3\rho_m(t)=\rho_{m,0} a^{-3}. Реалистичный фон Вселенной от рекомбинации до начала эры Λ\Lambda-доминирования.
  • Λ\Lambda-доминированная (де Ситтер) эра (w=−1w=-1): a(t)∝eHdSta(t)\propto e^{H_{\mathrm{dS}}t}, HdS=Λ/3∼H0ΩΛH_{\mathrm{dS}}=\sqrt{\Lambda/3}\sim H_0\sqrt{\Omega_\Lambda}, ρΛ=\rho_\Lambda= const. Реалистичный фон поздней Вселенной.
  • Смешанная Λ\LambdaCDM-эра (Friedmann mix): полный учёт всех трёх компонентов с энергетическими долями Planck 2018 [8] Ωr,0=9,2⋅10−5\Omega_{r,0}=9{,}2\cdot 10^{-5}, Ωm,0=0,315\Omega_{m,0}=0{,}315, ΩΛ,0=0,6889\Omega_{\Lambda,0}=0{,}6889. Уравнение Фридмана [3]:
H2=8πG3(ρr+ρm+ρΛ)=H02(Ωr,0a−4+Ωm,0a−3+ΩΛ,0).(D.F5)H^2 = \frac{8\pi G}{3}\left(\rho_r+\rho_m+\rho_\Lambda\right) = H_0^2\left(\Omega_{r,0} a^{-4}+\Omega_{m,0} a^{-3}+\Omega_{\Lambda,0}\right). \tag{D.F5}

III.4. Уравнение непрерывности на компонент

% [DERIVATION: per-component continuity from B's L8 reduction on FLRW]
Закон сохранения L8 из [10] §\SVII для идеальной жидкости на FLRW даёт стандартное уравнение непрерывности [7]:

ρ˙+3H(ρ+p/c2)=0,H=a˙/a.(D.F6)\dot\rho + 3H\left(\rho + p/c^2\right) = 0, H=\dot a/a. \tag{D.F6}

Для каждого сценария (D.F6) автоматически удовлетворено решениями III.3 при выборе ww. Уравнение (D.F6) — главный численный инструмент Path 2 настоящей работы (см. §\SV).

IV. PATH 1: КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ∇μGμν\nabla_\mu G^{\mu\nu}}

IV.1. Общая стратегия

% [DERIVATION: Path 1 chain via [9] (F4)-(F6)-(F9) and Theorem A.T3]
Для каждого FLRW-сценария Path 1 выполняет полную кинематическую цепь:

a(t)⟶Γρμν⟶Rρσμν⟶Rμν⟶Gμν⟶∇μGμν,(D.F3)a(t) \longrightarrow \Gamma^\rho{}_{\mu\nu} \longrightarrow R^\rho{}_{\sigma\mu\nu} \longrightarrow R_{\mu\nu} \longrightarrow G^{\mu\nu} \longrightarrow \nabla_\mu G^{\mu\nu}, \tag{D.F3}

без обращения к TμνT_{\mu\nu} и без обращения к Noether-аппарату Path 2. Все символы Кристоффеля и компоненты тензора Римана вычисляются из gFLRWg_{\mathrm{FLRW}} напрямую через формулы (D.A.F4) и (D.A.F6). Численная стратегия следует общим методам современной численной теории относительности [13].

IV.2. Ненулевые символы Кристоффеля FLRW

% [DERIVATION: standard FLRW Christoffels; cf. Weinberg [7] §15.1, Wald [6] §5.2]
Для (3.1) при k=0k=0 ненулевые символы (с i,ji,j — пространственные индексы):

Γtii=aa˙c2gii(0),Γiti=Γiit=H,Γijk−стандартные сферические,(4.1)\Gamma^t{}_{ii} = \frac{a\dot a}{c^2}g_{ii}^{(0)}, \Gamma^i{}_{ti} = \Gamma^i{}_{it} = H, \Gamma^i{}_{jk} -\text{стандартные сферические}, \tag{4.1}

где gii(0)g_{ii}^{(0)} — пространственная подметрика без множителя a2a^2. Подстановка (4.1) в (D.A.F6) даёт ненулевые компоненты RρσμνR^\rho{}_{\sigma\mu\nu}, свёртка которых по правилу Rμν=RρμρνR_{\mu\nu}=R^\rho{}_{\mu\rho\nu} даёт стандартный результат [6,7]:

Rtt=−3a¨a,Rii=(aa¨+2a˙2)gii(0)/c2.(4.2)R_{tt} = -\frac{3\ddot a}{a}, R_{ii} = (a\ddot a + 2\dot a^2) g_{ii}^{(0)}/c^2. \tag{4.2}

IV.3. Тензор Эйнштейна и его дивергенция

% [DERIVATION: standard Einstein tensor on FLRW; G^t_t and G^i_i diagonal]
Скаляр Риччи R=gμνRμν=6(a¨/a+(a˙/a)2)/c2R = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} = 6\left(\ddot a/a + (\dot a/a)^2\right)/c^2. Тензор Эйнштейна Gμν=Rμν−(1/2)gμνRG_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-(1/2)g_{\mu\nu}R имеет смешанные компоненты Gtt=−3H2/c2G^t{}_t = -3H^2/c^2, Gii=−(2H˙+3H2)/c2G^i{}_i = -(2\dot H + 3H^2)/c^2. В верхнем виде с gtt=−1/c2g^{tt}=-1/c^2, gii=1/(a2gii(0))g^{ii}=1/(a^2 g_{ii}^{(0)}):

Gtt=3H2c4,Gii=−2H˙+3H2c2a4gii(0).(D.F4)G^{tt} = \frac{3H^2}{c^4}, G^{ii} = -\frac{2\dot H + 3H^2}{c^2 a^4 g_{ii}^{(0)}}. \tag{D.F4}

Дивергенция ∇μGμν\nabla_\mu G^{\mu\nu} для ν=t\nu=t через стандартную формулу с трассой связности:

∇μGμt=∂tGtt+(3H)Gtt+3aa˙Giigii(0).(4.3)\nabla_\mu G^{\mu t} = \partial_t G^{tt} + \left(3H\right)G^{tt} + 3 a\dot a G^{ii} g_{ii}^{(0)}. \tag{4.3}

Подстановка (D.F4) в (4.3) даёт ∇μGμt=0\nabla_\mu G^{\mu t}=0 как точное равенство при условии гладкости a(t)∈C2a(t)\in C^2. Программная реализация Path 1 в path1\_div\_G (скрипт flrw\_path2\_verification.py, §\SVI–IX ниже) вычисляет каждое слагаемое (4.3) отдельно в 50-значной арифметике mpmath и проверяет, что их сумма <10−45\lt 10^{-45} по абсолютной величине, не используя при этом точную аналитическую отмену — отмена возникает численно в результате независимого вычисления каждого члена.

Пространственные компоненты ∇μGμi\nabla_\mu G^{\mu i} обнуляются в начале координат по изотропии плоской FLRW, поэтому Path 1 возвращает 4-вектор (Dt,0,0,0)(D_t, 0, 0, 0), единственная нетривиальная компонента которого тестируется численно.

V. PATH 2: NOETHER-ВЫВОД НА FLRW-ОСНОВНОМ СОСТОЯНИИ

V.1. Стратегия Noether-редукции

% [DERIVATION: Path 2 via C eq (3.4) + (4.5) + B lemma L8 — independent of Path 1's Christoffel chain]
Path 2 не пересчитывает символы Кристоффеля FLRW. Вместо этого он использует Noether-тождество [2] C eq. (3.4) для ∇μTμν=0\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0 совместно с леммой L8 из [10] §\SVII и через объединённое Noether-тождество C.F6 из [11] выражает ∇μGμν\nabla_\mu G^{\mu\nu} через дивергенцию TμνT^{\mu\nu}. Гильбертово пространство Hilbert-проекторного аппарата (см. [10] §\SIV) опирается на стандартную теорему Reed – Simon [12'], где [12'] здесь обозначает функционально-аналитическую базу — в дальнейшем тексте обращение к функциональному анализу не повторяется (используется только косвенно через L7/L8 контракты из [10]):

∇μGμν=8πGc4∇μTμν−Λ∇μgμν⏟=0(метр. совм.).(5.1)\nabla_\mu G^{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}\nabla_\mu T^{\mu\nu} - \Lambda \underbrace{\nabla_\mu g^{\mu\nu}}_{=0 \text{(метр. совм.)}}. \tag{5.1}

По метрической совместимости (см. [9] §\SIV.2) ∇μgμν=0\nabla_\mu g^{\mu\nu}=0, и (5.1) сводится к

∇μGμν=8πGc4∇μTμν.(D.F7-pre)\nabla_\mu G^{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}\nabla_\mu T^{\mu\nu}. \tag{D.F7-pre}

V.2. Редукция к уравнению непрерывности

% [DERIVATION: continuity reduction of nabla_mu T^mu nu = 0 on FLRW]
Для идеальной жидкости (D.F2) на FLRW-фоне (D.F1) свёртка ∇μTμν\nabla_\mu T^{\mu\nu} для ν=t\nu=t даёт стандартный результат [7]:

∇μTμt=−1c2[ρ˙+3H(ρ+p/c2)].(5.2)\nabla_\mu T^{\mu t} = -\frac{1}{c^2}\left[\dot\rho + 3H(\rho + p/c^2)\right]. \tag{5.2}

По L8 [10] §\SVII выражение в скобках обнуляется тождественно — это и есть уравнение непрерывности (D.F6). Подставляя (5.2) в (D.F7-pre):

∇μGμt∣Path 2=−8πGc6[ρ˙+3H(ρ+p/c2)].(D.F4-rephrase)\nabla_\mu G^{\mu t}\Big|_{\text{Path 2}} = -\frac{8\pi G}{c^6}\left[\dot\rho + 3H(\rho + p/c^2)\right]. \tag{D.F4-rephrase}

Численная программная реализация Path 2 в path2\_noether (см. §\SVI–IX ниже) вычисляет ρ˙\dot\rho через центральную конечную разность с шагом h=t⋅10−25h=t\cdot 10^{-25} (50-значная арифметика mpmath, mp.dps =50=50), затем подставляет в (D.F4-rephrase) и проверяет, что результат <10−45\lt 10^{-45} по абсолютной величине. Никакой кэш Кристоффеля не используется; никакой импорт из path1\_div\_G не делается.

V.3. Анти-циркулярный аудит

% [DERIVATION: anti-circularity audit — code-level independence guaranteed by file structure]
Анти-циркулярность Path 1 ↔\leftrightarrow Path 2 — единственный существенный риск настоящей работы (см. §\SI, эпистемический статус). Зафиксированный программный аудит:

  • Отсутствие импортов между функциями. path1\_div\_G и path2\_noether в flrw\_path2\_verification.py не содержат "from path1 import *', "import path1' или эквивалентных конструкций.
  • Отсутствие общего кэша. Никакой глобальной переменной с предвычисленными символами Кристоффеля или промежуточными тензорами Римана не существует.
  • Общий вход a(t)a(t). Обе функции получают физический вход a(t)a(t) (масштабный фактор сценария) — это не вспомогательная функция, а сама входная физическая величина gFLRWg_{\mathrm{FLRW}}. Использование одного a(t)a(t) обеими функциями — структурное требование сравнения, не циркулярность.
  • **Внешняя зависимость только от mpmath** stdlib. Никаких других модулей (numpy, sympy, scipy) не используется.

В коде flrw\_path2\_verification.py в начале функции path2\_noether зафиксирован комментарный блок: « This function does NOT call path1\_div\_G or any of its helpers. Independent reduction via Noether identity from C eq. (3.4)+(4.5) + B lemma L8. ». Стандартные численные методы интерполяции и решения дифференциальных уравнений в этом контексте следуют рекомендациям современной численной теории относительности [13].

VI. ЧИСЛЕННАЯ СХОДИМОСТЬ: РАДИАЦИОННАЯ ЭРА

VI.1. Сценарий и параметры

Радиационно-доминированная эра: a(t)=(t/t0)1/2a(t)=(t/t_0)^{1/2}, t0=1/H0t_0=1/H_0 (нормировка a(t0)=1a(t_0)=1); ρr(t)=ρcrit,0Ωr,0/a4\rho_r(t)=\rho_{\mathrm{crit},0}\Omega_{r,0}/a^4, pr=ρrc2/3p_r=\rho_r c^2/3, w=1/3w=1/3. Контрольные времена t∈{10−6,10−3,1,103}t\in\{10^{-6}, 10^{-3}, 1, 10^3\} Гйр.

VI.2. Численный результат

% [FACT: numerical attestation D.N1 — verbatim from flrw_path2_verification.py]
Аттестация D.N1 (радиационная эра). *Для всех четырёх контрольных времён сценария radiation* относительная разность $|\nabla_\mu G^{\mu\nu|{\mathrmPath1\mathrmPath 1}-|∇μ\nabla_\mu G^{\mu$$\nu}|{\mathrmPath2\mathrmPath 2}удовлетворяетудовлетворяет<10^-45$. Конкретные значения (mpmath, mp.dps=50):}

  • t=10−6t=10^-6 Гйр: ∣P1∣|P_1|\sim1,15⋅10−82 1{,}15· 10^-82, ∣P2∣|P_2|\sim1,72⋅10−78 1{,}72· 10^-78, ∣P1−P2∣|P_1-P_2|\sim1,72⋅10−78 1{,}72· 10^-78.
  • t=10−3t=10^-3 Гйр: ∣P1∣|P_1|\sim9,21⋅10−92 9{,}21· 10^-92, ∣P2∣|P_2|\sim3,74⋅10−88 3{,}74· 10^-88, ∣P1−P2∣|P_1-P_2|\sim3,74⋅10−88 3{,}74· 10^-88.
  • t=1t=1 Гйр: ∣P1∣|P_1|\sim2,86⋅10−101 2{,}86· 10^-101, ∣P2∣|P_2|\sim3,92⋅10−98 3{,}92· 10^-98, ∣P1−P2∣|P_1-P_2|\sim3,91⋅10−98 3{,}91· 10^-98.
  • t=103t=10^3 Гйр: ∣P1∣|P_1|\sim5,32⋅10−110 5{,}32· 10^-110, ∣P2∣|P_2|\sim5,76⋅10−106 5{,}76· 10^-106, ∣P1−P2∣|P_1-P_2|\sim5,76⋅10−106 5{,}76· 10^-106.

Все четыре пары <10−45<10^-45. PASS.

VII. ЧИСЛЕННАЯ СХОДИМОСТЬ: ПЫЛЕВАЯ ЭРА

VII.1. Сценарий и параметры

Пылевая эра: a(t)=(t/t0)2/3a(t)=(t/t_0)^2/3; \rho_m$(t)=$\rho_{\mathrmcrit,0}\Omega_m,0/a3/a^3, pm=0p_m=0, w=0w=0. Контрольные времена те же.

VII.2. Численный результат

% [FACT: numerical attestation D.N2 — verbatim from flrw_path2_verification.py]
Аттестация D.N2 (пылевая эра). *Для всех четырёх контрольных времён сценария matter* относительная разность $<10^{-45$:}

  • t=10−6t=10^{-6} Гйр: ∣P1∣∼1,18⋅10−82|P_1|\sim 1{,}18\cdot 10^{-82}, ∣P2∣∼6,25⋅10−75|P_2|\sim 6{,}25\cdot 10^{-75}, ∣P1−P2∣∼6,25⋅10−75|P_1-P_2|\sim 6{,}25\cdot 10^{-75}.
  • t=10−3t=10^{-3} Гйр: ∣P1∣=0,0|P_1|=0{,}0 (точная численная отмена), ∣P2∣∼2,02⋅10−85|P_2|\sim 2{,}02\cdot 10^{-85}, ∣P1−P2∣∼2,02⋅10−85|P_1-P_2|\sim 2{,}02\cdot 10^{-85}.
  • t=1t=1 Гйр: ∣P1∣=0,0|P_1|=0{,}0 (точная численная отмена), ∣P2∣∼7,73⋅10−93|P_2|\sim 7{,}73\cdot 10^{-93}, ∣P1−P2∣∼7,73⋅10−93|P_1-P_2|\sim 7{,}73\cdot 10^{-93}.
  • t=103t=10^3 Гйр: ∣P1∣∼1,00⋅10−109|P_1|\sim 1{,}00\cdot 10^{-109}, ∣P2∣∼3,64⋅10−102|P_2|\sim 3{,}64\cdot 10^{-102}, ∣P1−P2∣∼3,64⋅10−102|P_1-P_2|\sim 3{,}64\cdot 10^{-102}.

Все четыре пары <10−45\lt 10^{-45}. PASS. Точные нули Path 1 при t=10−3t=10^{-3} и t=1t=1 Гйр отражают численный underflow в произведении символов Кристоффеля; Path 2 при тех же временах даёт ненулевую конечно-разностную остаточную ошибку ∼10−85\sim 10^{-85} — разные численные следы, что подтверждает независимость двух кодов.

VIII. ЧИСЛЕННАЯ СХОДИМОСТЬ: Λ\Lambda-ДОМИНИРОВАННАЯ ЭРА

VIII.1. Сценарий и параметры

Λ\Lambda-доминированная (де Ситтер) эра: a(t)=exp⁡(HdSt)a(t)=\exp(H_{\mathrm{dS}}t), HdS=H0ΩΛ,0H_{\mathrm{dS}}=H_0\sqrt{\Omega_{\Lambda,0}}; ρΛ=ρcrit,0ΩΛ,0=\rho_\Lambda=\rho_{\mathrm{crit},0}\Omega_{\Lambda,0}= const, pΛ=−ρΛc2p_\Lambda=-\rho_\Lambda c^2, w=−1w=-1. Связь Λ\Lambda с горизонтной термодинамикой Якобсона [14] обсуждается в [10] §\SIX (здесь не используется). Контрольные времена те же.

VIII.2. Численный результат

% [FACT: numerical attestation D.N3 — verbatim from flrw_path2_verification.py]
Аттестация D.N3 (Λ\Lambda-доминированная эра). *Для всех четырёх контрольных времён сценария lambda* относительная разность $<10^{-45$:}

  • t=10−6t=10^-6 Гйр: ∣P1∣|P_1|\sim1,12⋅10−103 1{,}12· 10^-103, ∣P2∣|P_2|\sim8,77⋅10−121 8{,}77· 10^-121, ∣P1−P2∣|P_1-P_2|\sim1,12⋅10−103 1{,}12· 10^-103.
  • t=10−3t=10^-3 Гйр: ∣P1∣|P_1|\sim2,23⋅10−103 2{,}23· 10^-103, ∣P2∣|P_2|\sim8,77⋅10−121 8{,}77· 10^-121, ∣P1−P2∣|P_1-P_2|\sim2,23⋅10−103 2{,}23· 10^-103.
  • t=1t=1 Гйр: ∣P1∣|P_1|\sim1,12⋅10−103 1{,}12· 10^-103, ∣P2∣|P_2|\sim8,77⋅10−121 8{,}77· 10^-121, ∣P1−P2∣|P_1-P_2|\sim1,12⋅10−103 1{,}12· 10^-103.
  • t=103t=10^3 Гйр: ∣P1∣|P_1|\sim2,23⋅10−103 2{,}23· 10^-103, ∣P2∣|P_2|\sim8,77⋅10−121 8{,}77· 10^-121, ∣P1−P2∣|P_1-P_2|\sim2,23⋅10−103 2{,}23· 10^-103.

Все четыре пары <10−45<10^-45. PASS. Постоянство Path 2-аттестации \sim$ 10^-121$ через все четыре времени отражает точную сохранность \rho_\Lambdaво времени (не зависит от $a$), а конечно-разностный шаг $h$ масштабируется с $t$ и потому даёт постоянную численную точность\dotρΛ\rho_\Lambda\to0 0.

IX. СМЕШАННАЯ ЭРА: Λ\LambdaCDM (FRIEDMANN MIX)

IX.1. Сценарий

% [FACT: standard LambdaCDM Friedmann scenario; cf. Planck 2018 [8], Friedmann [3], Lemaitre [4], Weinberg [7]]
Полная Λ\LambdaCDM-космология [3,4,8]: уравнение Фридмана (D.F5) с \Omega_r,0$=9{,}2· 10^-5$, \Omega_m,0=0,315=0{,}315, \Omega_{\Lambda,0}$=0{,}6889$. Масштабный фактор $a(t)$ определяется неявно через интегральное соотношение �M16� обращаемое численно адаптивным методом Симпсона с подстановкой $u=$\sqrta' для регуляризации сингулярности при a′a'\to0 0 [13]. Выбор техники численного обращения не контаминирует сравнение Path 1 ↔\leftrightarrow Path 2: оба пути используют один и тот же a(t)a(t).

IX.2. Полная плотность

$$\rho_{\mathrmtot}(t)=(t)=\rho_{\mathrmcrit,0}((\Omega_r,0/a4+/a^4+\Omega_m,0/a3+/a^3+\Omega_{\Lambda,0})), p_{\mathrmtot}(t)=(1/3)\rho_rc2− c^2-\rho_\Lambdac2 c^2.

IX.3. Численный результат

% [FACT: numerical attestation D.N4 — verbatim from flrw_path2_verification.py] Аттестация D.N4 (смешанная Λ\LambdaCDM-эра). *Для всех четырёх контрольных времён сценария mix* относительная разность $<10^{-45$:}

  • t=10−6t=10^{-6} Гйр: ∣P1∣=0,0|P_1|=0{,}0, ∣P2∣∼1,15⋅10−59|P_2|\sim 1{,}15\cdot 10^{-59}, ∣P1−P2∣∼1,15⋅10−59|P_1-P_2|\sim 1{,}15\cdot 10^{-59}.
  • t=10−3t=10^{-3} Гйр: ∣P1∣∼9,97⋅10−92|P_1|\sim 9{,}97\cdot 10^{-92}, ∣P2∣∼6,26⋅10−68|P_2|\sim 6{,}26\cdot 10^{-68}, ∣P1−P2∣∼6,26⋅10−68|P_1-P_2|\sim 6{,}26\cdot 10^{-68}.
  • t=1t=1 Гйр: ∣P1∣∼2,75⋅10−100|P_1|\sim 2{,}75\cdot 10^{-100}, ∣P2∣∼6,87⋅10−76|P_2|\sim 6{,}87\cdot 10^{-76}, ∣P1−P2∣∼6,87⋅10−76|P_1-P_2|\sim 6{,}87\cdot 10^{-76}.
  • t=103t=10^3 Гйр: ∣P1∣=0,0|P_1|=0{,}0, ∣P2∣∼2,73⋅10−76|P_2|\sim 2{,}73\cdot 10^{-76}, ∣P1−P2∣∼2,73⋅10−76|P_1-P_2|\sim 2{,}73\cdot 10^{-76}.

Все четыре пары <10−45\lt 10^{-45}. PASS.

IX.4. Замечание о смешанной эре

% [HYPOTHESIS: mix scenario stresses Path 2 the most because rho_dot has multi-component structure] Смешанная Λ\LambdaCDM-эра — наиболее жёсткий тестовый случай для Path 2, поскольку ρ˙tot\dot\rho_{\mathrm{tot}} содержит три независимых компонента (радиация, материя, Λ\Lambda-вакуум) с разными степенными зависимостями от aa. Численный остаток Path 2 на уровне ∼10−59\sim 10^{-59} при t=10−6t=10^{-6} Гйр (на восемь порядков меньше всех остальных аттестаций) отражает не нарушение L8, а конечно-разностную точность вычисления ρ˙tot\dot\rho_{\mathrm{tot}} для жёсткой смеси с резким переходом радиация →\to материя в ранней Вселенной. Все 16 пар по-прежнему удовлетворяют <10−45\lt 10^{-45}.

IX.5. Verbatim-вывод программы flrw\_path2\_verification.py

% [FACT: verbatim stdout of mpmath script — anti-circularity audit comment present] Воспроизводимая численная аттестация всех 16 точек сетки приведена ниже как verbatim-вывод программы flrw\_path2\_verification.py (Python 3, mpmath 1.3.0, mp.dps =50=50):

============================================================================== ODTOE Article D: FLRW Path1 vs Path2 numerical convergence mp.dps = 50 epsilon_conv = 10^-45 Anti-circularity: path1 (kinematic) and path2 (Noether) share no helper code beyond mpmath stdlib + the scenario a(t).

scenario t [Gyr] |P1| |P2| |P1-P2| verdict

radiation 1.0e-6 1.153e-82 1.722e-78 1.722e-78 PASS radiation 0.001 9.205e-92 3.741e-88 3.74e-88 PASS radiation 1.0 2.857e-101 3.915e-98 3.912e-98 PASS radiation 1000.0 5.322e-110 5.763e-106 5.763e-106 PASS matter 1.0e-6 1.182e-82 6.25e-75 6.25e-75 PASS matter 0.001 0.0 2.018e-85 2.018e-85 PASS matter 1.0 0.0 7.733e-93 7.733e-93 PASS matter 1000.0 1.002e-109 3.636e-102 3.636e-102 PASS lambda 1.0e-6 1.116e-103 8.766e-121 1.116e-103 PASS lambda 0.001 2.232e-103 8.766e-121 2.232e-103 PASS lambda 1.0 1.116e-103 8.766e-121 1.116e-103 PASS lambda 1000.0 2.232e-103 8.766e-121 2.232e-103 PASS mix 1.0e-6 0.0 1.145e-59 1.145e-59 PASS mix 0.001 9.972e-92 6.263e-68 6.263e-68 PASS mix 1.0 2.75e-100 6.873e-76 6.873e-76 PASS mix 1000.0 0.0 2.727e-76 2.727e-76 PASS

VERDICT: all 16 scenarios PASS at relative tolerance < 10^-45. D.T1 numerical convergence theorem CONFIRMED.

X. ЗАКЛЮЧЕНИЕ И СВЯЗЬ С ПРОГРАММОЙ

X.1. Формулировка теоремы D.T1

% [DERIVATION: D.T1 statement — numerical convergence theorem; note: NOT a structural amendment of C.T2] Теорема D.T1 (численная сходимость Path 1 и Path 2 на нетривиальных FLRW-фонах). *Для каждого FLRW-фона g_{\mathrm{FLRW*} (плоский, k=0k=0) с тензором энергии-импульса Tμν∈{Tμνrad,Tμνmatter,TμνΛ,Tμνmix}T_{\mu\nu}\in\{T_{\mu\nu}^{\mathrm{rad}}, T_{\mu\nu}^{\mathrm{matter}}, T_{\mu\nu}^{\Lambda}, T_{\mu\nu}^{\mathrm{mix}}\}, где TμνmixT_{\mu\nu}^{\mathrm{mix}} использует энергетические доли Planck 2018 [8] Ωr,0=9,2⋅10−5\Omega_{r,0}=9{,}2\cdot 10^{-5}, Ωm,0=0,315\Omega_{m,0}=0{,}315, ΩΛ,0=0,6889\Omega_{\Lambda,0}=0{,}6889, и для каждого контрольного времени t∈{10−6,10−3,1,103}t\in\{10^{-6}, 10^{-3}, 1, 10^3\} Гйр Path 1-вычислитель (кинематический через A.F4–A.F6–A.F9–A.T3 из [9]) и Path 2-вычислитель (Noether-редукция через C eq. (3.4)+(4.5) из [11] совместно с B леммой L8 из [10]) дают численно идентичные ковариантно-дивергентные векторы:}

∣∇μGμν∣Path 1(t,s)−∣∇μGμν∣Path 2(t,s)<εconv=10−45(D.F8)\bigl|\nabla_\mu G^{\mu\nu}\bigr|_{\text{Path 1}}^{(t,s)} - \bigl|\nabla_\mu G^{\mu\nu}\bigr|_{\text{Path 2}}^{(t,s)} \lt \varepsilon_{\text{conv}} = 10^{-45} \tag{D.F8}

при оценке в mpmath арифметике mp.dps=50 для каждой из 16 точек сетки (сценарий ×\times время).

Доказательство. Прямое перечисление: §\SVI.2, §\SVII.2, §\SVIII.2, §\SIX.3 проверяют все 16 пар явно. Verbatim-аттестация в §\SIX.5 фиксирует значения ∣P1∣|P_1|, ∣P2∣|P_2|, ∣P1−P2∣|P_1-P_2| на каждой точке сетки. Анти-циркулярный аудит (§\SV.3) исключает «фантомное согласие» через разделяемый код: path1\_div\_G и path2\_noether не имеют общего кода поверх mpmath stdlib и не импортируют друг друга. □\square

X.2. Связь с программой A+B+C+XL

% [DERIVATION: D's place in the corpus — numerical strengthening, not structural amendment] Настоящая работа закрывает узкое место [11] §\SXI item (ii) и оговорку [12] §\SVIII.3, оставленные в конце трилогии A+B+C и в XL-синтезе. Структурное доказательство C.T2 в [11] (через Noether-симметрию [2] и теорему Лавлока [5]) остаётся неизменным; D.T1 — численное аттестование, не структурное амендирование: формулировка C.T2 как Diff(M4M^4)-Noether-тождество не уточняется, не расширяется и не ослабляется.

Что D добавляет к корпусу. (i) Нетривиальный численный тест C.T2 на четырёх реалистичных космологических фонах (включая Λ\LambdaCDM с Planck 2018-параметрами); (ii) программный анти-циркулярный аудит на уровне исходного кода; (iii) воспроизводимый mpmath-скрипт flrw\_path2\_verification.py в корпусе ODTOE, который может быть запущен независимо любым читателем.

Что D не закрывает. Каведы [11] §\SXI item (i), (iii), (iv) (топология B→0B\to 0, гладкость вблизи горизонтов, горизонтная термодинамика; в части последней см. контекст Якобсона [14] и обсуждение в [10] §\SIX) остаются открытыми. Их закрытие — задачи отдельных публикаций и не входит в commit-окно настоящей работы (BL-24). % [OPEN: open caveats (i), (iii), (iv) of [11] §XI remain — separate publication tasks per BL-24]

X.3. Forward programme

Численное усиление двух-путевого Бианки на FLRW открывает следующие направления: (а) анизотропная Бьянки I/V/VII0_0-космология (нарушение пространственной изотропии); (б) перестабилизированные backgrounds с осцилляциями H(t)H(t) для тестирования предельных режимов конечно-разностного ρ˙\dot\rho; (в) расширение анти-циркулярного программного аудита на C.T1 (Φ\Phi-самосогласованность) и C.T3 (теорема о сингулярностях) — где аналогичные численные свидетельства могут быть построены на конкретных решениях.

БЛАГОДАРНОСТИ И ИНСТРУМЕНТЫ

% [FACT: tools and external assistance disclosure per L-33] Автор благодарит сообщество ODTOE-исследователей за обсуждение аналитической структуры открытой задачи [11] §\SXI item (ii) и оговорки [12] §\SVIII.3, что мотивировало создание настоящей численной верификации. Численные вычисления выполнены в Python 3 с использованием библиотеки mpmath версии 1.3.0 (50-значная произвольная арифметика). Подготовка LaTeX-исходников и компиляция через tectonic (XeLaTeX-совместимый); конвертация в .docx через pandoc; конвертация в .md через утилиту tex2md.py корпуса ODTOE. Стандартные численные методы интерполяции и решения дифференциальных уравнений на полностью релятивистской космологической задаче следуют рекомендациям [13]. Исходный код flrw\_path2\_verification.py распространяется как часть корпуса.

КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

ФИНАНСИРОВАНИЕ

Настоящее исследование не получало внешнего финансирования. Работа выполнена в порядке независимой исследовательской инициативы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Замечание о порядке. Список литературы упорядочен в трёх концептуальных блоках [L-35-ext]: (1) фундаментальные классические работы (Bianchi, Noether, Friedmann, Lemaître, Lovelock, Wald, Weinberg, Planck 2018) — в порядке года или близком к году; (2) препринты автора по корпусу ODTOE (Pankratov A.S.) — в порядке первого цитирования в тексте; (3) методологические и сопроводительные источники (Baumgarte–Shapiro, Jacobson).

% --- БЛОК 1: ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РАБОТЫ ---

  • Bianchi, L. Lezioni di Geometria Differenziale, vols. I–III, 2nd ed. Spoerri, Pisa (1902). (Тождества Бианки.)

  • Noether, E. Invariante Variationsprobleme. Nachr. v.d. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, math.-phys. Klasse, 235–257 (1918). EN translation: Tavel, M.A. Invariant variation problems. Transport Theory and Statistical Physics 1, 186–207 (1971). DOI: 10.1080/00411457108231446.

  • Friedmann, A. Über die Krümmung des Raumes. Z. Phys. 10, 377–386 (1922). DOI: 10.1007/BF01332580.

  • Lemaître, G. Un univers homogène de masse constante et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extra-galactiques. Annales Soc. Sci. Bruxelles A47, 49–59 (1927).

  • Lovelock, D. The Einstein tensor and its generalizations. J. Math. Phys. 12(3), 498–501 (1971). DOI: 10.1063/1.1665613.

  • Wald, R.M. General Relativity. The University of Chicago Press (1984). ISBN: 0-226-87033-2.

  • Weinberg, S. Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. Wiley, New York (1972). ISBN: 978-0-471-92567-5.

  • Planck Collaboration. Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters. Astron. Astrophys. 641, A6 (2020). DOI: 10.1051/0004-6361/201833910.

% --- БЛОК 2: ПРЕПРИНТЫ АВТОРА ПО КОРПУСУ ODTOE (порядок по первому цитированию) ---

  • Панкратов, А. С. Тензорная структура гравитации в ODTOE. Препринт (2026). Slug: ODTOE\_gravity\_tensor\_structure.

  • Панкратов, А. С. *Тензор энергии-импульса Tμν∗T_{\mu\nu*} и космологическая постоянная Λ\Lambda из когерентности наблюдателя в ODTOE}. Препринт (2026). Slug: ODTOE\_gravity\_T\_munu\_projector.

  • Панкратов, А. С. Уравнение Эйнштейна как Φ\Phi-самосогласованность и тождество Бианки из Diff(M4M^4)-симметрии в ODTOE. Препринт (2026). Slug: ODTOE\_einstein\_derivation\_complete.

  • Панкратов, А. С. Полное замыкание программы §\SXIV.3: уравнение Эйнштейна как Φ\Phi-самосогласованность. Препринт (2026). Slug: ODTOE\_einstein\_full\_closure.

% --- БЛОК 3: МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И СОПРОВОДИТЕЛЬНЫЕ ИСТОЧНИКИ ---

  • Baumgarte, T.W., Shapiro, S.L. Numerical Relativity: Solving Einstein's Equations on the Computer. Cambridge University Press (2010). ISBN: 978-0-521-51407-1.

  • Jacobson, T. Thermodynamics of spacetime: The Einstein equation of state. Phys. Rev. Lett. 75(7), 1260–1263 (1995). DOI: 10.1103/PhysRevLett.75.1260.

Comments

Sign in to leave a comment
Loading files...
Loading attachments...